Принцип возможных перемещений. Общее уравнение динамики. Применение принципа возможных перемещений Какая формула выражает принцип возможных перемещений

Планирование перемещений Удовлетворение многих потребностей и исполнение ожиданий связано непосредственно с содержанием труда, поскольку человеку отнюдь не все равно, чему он посвящает большую часть жизни. Удовлетворение потребностей зачастую сопряжено с занятием

Принцип 4. Медикаменты можно принимать только в том случае, если риск отказа от них превышает риск от возможных побочных эффектов

Принцип 4. Медикаменты можно принимать только в том случае, если риск отказа от них превышает риск от возможных побочных эффектов Другими словами, вам необходимо взвесить соотношение между риском и выгодой. Каждое лекарство может оказаться для вас не только полезным и

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, который устанавливает общее условие равновесия механической системы. Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета (рассматриваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно будем считать все наложенные на систему связи стационарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.

Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Будем возможную работу активной силы обозначать символом , а возможную работу реакции N связи - символом

Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях, которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие идеальности связей, когда они одновременно являются стационарными, соответствует определению (98), так как при стационарных связях каждое действительное перемещение совпадает с одним из возможных. Поэтому примерами идеальных связей будут все примеры, приведенные в § 123.

Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство

где - угол между силой и возможным перемещением.

Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних) активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точку системы соответственно через . Тогда, поскольку каждая из точек системы находится в равновесии, , а следовательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки будет тоже равна нулю, т. е. . Составив такие равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

Но так как связи идеальные, представляют собой возможные перемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будет равна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т. е. выполняется равенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выражает необходимое условие равновесия системы.

Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что если к точкам механической системы, находящейся в покое, приложить активные силы удовлетворяющие равенству (99), то система останется в покое. Предположим обратное, т. е. что система при этом Придет в движение и некоторые ее точки совершат действительные перемещения . Тогда силы совершат на этих перемещениях работу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:

где, очевидно, , так как вначале система была в покое; следовательно, и . Но при стационарных связях действительные перемещения совпадают с какими-то из возможных перемещений и на этих перемещениях тоже должно быть что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенные силы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоя выйти не может и это условие является достаточным условием равновесия.

Из доказанного вытекает следующий принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

КЛАССИФИКАЦИЯ СВЯЗЕЙ

Введенное в § 3 понятие о связях охватывает не все их виды. Поскольку рассматриваемые даже методы решения задач механики применимы вообще к системам не с любыми связями, рассмотрим вопрос о связях и об их классификации несколько подробнее.

Связями называются любого вида ограничения, которые налагаются на положения и скорости точекмеханической системы и выполняются независимо от того, какие на систему действуют заданные силы. Рассмотрим, как классифицируются эти связи.

Связи, не изменяющиеся со временем, называются стационарными, а изменяющиеся со с временем - нестационарными.

Связи, налагающие ограничения на положения (координаты) точек системы, называются геометрическими, а налагающие ограничения еще и на скорости (первые производные от координат по времени) точек системы - кинематическими или дифференциальными.

Если дифференциальную связь можно представить как геометрическую, т. е. устанавливаемую этой связью зависимость между скоростями свести к зависимости между координатами, то такая связь называется интегрируемой, а в противном случае - неинтегрируемой.

Геометрические и интегрируемые дифференциальные связи называют связями голсномньши, а неинтегрируемые дифференциальные связи - неголономньши.

По виду связей механические системы тоже разделяют на голономные (с голономными связями) и неголономные (содержащие неголономные связи).

Наконец, различают связи удерживающее (налагаемые ими ограничения сохраняются при любом положении системы) и неудерживающие, которые этим свойством не обладают (от таких связей, как говорят, система может «освобождаться»). Рассмотрим примеры.

1. Все связи, рассмотренные в § 3, являются геометрическими (голономными) и притом стационарными. Движущийся лнфт, изображенный на рис. 271, а, будет для лежащего в нем груза, когда положение груза рассматривается по отношению к осям Оху, нестационарной геометрической связью (пол кабины, реализующий связь, изменяет со временем свое положение в пространстве).

2 Положение катящегося без скольжения колеса (см. рис. 328) определяется координатой центра С колеса и углом поворота . При качении выполняется условие или

Это дифференциальная связь, но полученное уравнение интегрируется и дает , т. е. сводится к зависимости между координатами. Следовательно, наложенная связь голономная.

3. В отличие от колеса для шара, катящегося без скольжения по шероховатой плоскости, условие того, что скорость точки шара, касающаяся плоскости, равна нулю, не может быть сведено (когда центр шара движется не прямолинейно) к каким-нибудь зависимостям между координатами, определяющими положение шара. Это пример негалоиомной связи. Другой пример дают связи, налагаемые на управляемое движение. Например, если на движение точки (ракеты) налагается условие (связь), что ее скорость в любой момент времени должна быть направлена в другую движущуюся точку (самолет), то это условие к какой-нибудь зависимости между координатами тоже не сводится и связь является неголономной.

4. В § 3 связи, показанные на рис. являются, удерживающими, а на рис. 8 и 9 - неудерживающими (на рис. 8, а шарик может покинуть поверхность, а на рис. 9 - перемещаться в сторону точки А, сминая нить). С учетом особенностей неудерживающих связей мы сталкивались в задачах 108, 109 (§ 90) и в задаче 146 (§ 125).

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, который устанавливает общее условиеравновесия механической системы. Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета(рассматриваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно будем считать все наложенные на систему связи стационарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.

Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Будем возможную работу активной силы обозначать символом , а возможную работу реакции N связи - символом

Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях, которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие идеальности связей, когда они одновременно являются стационарными, соответствует определению (98), так как при стационарных связях каждое действительное перемещение совпадает с одним из возможных. Поэтому примерами идеальных связей будут все примеры, приведенные в § 123.

Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство

где - угол между силой и возможным перемещением.

Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних) активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точку системы соответственно через . Тогда, поскольку каждая из точек системы находится в равновесии, , а следовательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки будет тоже равна нулю, т. е. . Составив такие равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

Но так как связи идеальные, представляют собой возможные перемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будет равна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т. е. выполняется равенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выражает необходимое условие равновесия системы.

Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что если к точкам механической системы, находящейся в покое, приложить активные силы удовлетворяющие равенству (99), то система останется в покое. Предположим обратное, т. е. что система при этом Придет в движение и некоторые ее точки совершат действительные перемещения . Тогда силы совершат на этих перемещениях работу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:

где, очевидно, , так как вначале система была в покое; следовательно, и . Но при стационарных связях действительные перемещения совпадают с какими-то из возможных перемещений и на этих перемещениях тоже должно быть что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенные силы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоя выйти не может и это условие является достаточным условием равновесия.

Из доказанного вытекает следующий принцип возможных перемещений: для равновесия механической системыс идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Устанавливающий общее условие равновесия механической системы . Согласно этому принципу, для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ $A\_i$ только активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю (если система приведена в это положение с нулевыми скоростями).

Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы.

Возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями (при этом время, входящее явно в уравнения нестационарных связей, считается зафиксированным). Проекции возможных перемещений на декартовы координатные оси называются вариациями декартовых координат.

Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения, допускаемые связями, при "замороженном времени". Т.е. они отличаются от возможных перемещений, только когда связи реономны (явно зависят от времени).

Если, например, на систему наложено $l$ голономных реономных связей:

$f\_\{\backslash alpha\}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

То возможные перемещения $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ - это те, которые удовлетворяют

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; \backslash vec\{r\}\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec\{r\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

А виртуальные $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; \backslash vec\{r\}\}\backslash delta\; \backslash vec\{r\}\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

Виртуальные перемещения, вообще говоря, не имеют отношения к процессу движения системы - они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соотношения сил и получить условия равновесия. Малость же перемещений нужна для того, чтобы можно было считать реакции идеальных связей неизменными.

Напишите отзыв о статье "Принцип возможных перемещений"

Литература

• Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. 10-е изд. - Спб.: Лань, 2009. - 480 с. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. 18-е изд. - М .: Высшая школа, 2010. - 416 с. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
• Маркеев А. П. Теоретическая механика: учебник для университетов. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2001. - 592 с. - ISBN 5-93972-088-9 .

Отрывок, характеризующий Принцип возможных перемещений

В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.